魔方陣について
魔方陣とは、数字を正方形に並べ、
縦・横・対角線の和が全部同じになるようにしたもので、
正方形の一辺に並ぶ数字の個数によって三方陣、四方陣、五方陣・・・
というように呼ばれます。
「三方陣」の作り方
三方陣の種類は一つしかありません。その並び方は次のとおりです。
なお、回転や裏返しで一致するものは同一の方陣とします。
2 9 4
7 5 3
6 1 8
「四方陣」の作り方
四方陣は全部で８８０種あると言われていますが、そのうち数例を紹介します。
次の四方陣は、対角線方法により作った魔方陣です。作り方は次のとおりです。
①マス目の左上隅から1、2、3、4と横方向に順に数字を入れるが、
対角線のところには数字を入れない。
②次にマス目の左上隅から16、15、14、13と横方向に順に数字を入れるが、
対角線のところだけに数字を入れる。
③最後に①と②を重ね合わせたものが四方陣となる。
① ② ③
* 2 3 * 16 * * 13 16 2 3 13
5 * * 8 + * 11 10 * = 5 11 10 8
9 * * 12 * 7 6 * 9 7 6 12
* 14 15 * 4 * * 1 4 14 15 1
①次の[2-1]の四方陣は、左上から順番に並んだ配置から2と15、3と14、5と12、8と9を入れ替えたものです。
②この[2-1]の四方陣から２行３行、２列３列を入れ替えると[2-2]の四方陣が出来ます。
③また[2-1]の四方陣から１行２行と１列２列、３行４行と３列４列を入れ替えると[2-3]の四方陣が出来ます。
④なお、[2-2]の四方陣から１行２行と１列２列、３行４行と３列４列を入れ替えても[2-4]のように四方陣が出来ます。
[2-1] [2-2] [2-3] [2-4]
1 15 14 4 1 14 15 4 6 12 9 7 11 8 5 10
12 6 7 9 8 11 10 5 15 1 4 14 14 1 4 15
8 10 11 5 12 7 6 9 3 13 16 2 2 13 16 3
13 3 2 16 13 2 3 16 10 8 5 11 7 12 9 6
⑤次の[3-1]の四方陣は完全四方陣と言われるもので、縦横斜めの各方向のほか、
真ん中の２×２、四隅の２×２の正方形も和が３４となります。
⑥この[3-1]の四方陣を、上の[2-2]、[2-3]のように入れ替えると、
[3-2]、[3-3]の四方陣が出来ます。
[3-1] [3-2] [3-3]
16 3 2 13 16 2 3 13 10 5 8 11
5 10 11 8 9 7 6 12 3 16 13 2
9 6 7 12 5 11 10 8 15 4 1 14
4 15 14 1 4 14 15 1 6 9 12 7
「五方陣」の作り方
五方陣は無数（2億7530万5224種）あると言われていますが、
奇数方陣の作り方には斜進法と平行移動法がよく知られています。
次の五方陣は斜進法により作った魔方陣で、
最下行の中央に1を入れ、1から順に斜め左下に進みながら数字を入れます。
このとき最下行になるときは左隣の最上段に、
左端の列になるときは１行下の右端に進み、
すでに数字がある場合は一つ上のマスに進みます。
9 2 25 18 11
3 21 19 12 10
22 20 13 6 4
16 14 7 5 23
15 8 1 24 17
次の五方陣は平行移動法により作った魔方陣で、
始めに最上段の中央に1を入れ、斜め下に向かって順番に数字を入れます。
次に真ん中の５×５の枠からはみ出ている数字（[1,2,6][4,5,10][16,21,22][20,24,25]）を、
上のは下に、左のは右にと平行移動します。
（ちょっと分かり難いかも知れませんが、例えば最上段の1を６段目の中央に移動します。）
1
2 6
3 ･ 7 ･ 11 3 20 7 24 11
4 ･ 8 ･ 12 ･ 16 16 8 25 12 4
5 9 ･ 13 ･ 17 21 → 9 21 13 5 17
10 ･ 14 ･ 18 ･ 22 22 14 1 18 10
15 ･ 19 ･ 23 15 2 19 6 23
20 24
25
「六方陣」の作り方
六方陣も無数にあります。次にその作り方の一例を示しますが、非常に複雑です。
なお、この作り方は４の倍数＋２の魔方陣（六方陣、十方陣、十四方陣・・・）
に適用できます。
最初に内側に n-2 の魔方陣（六方陣の場合は内側の四方陣、
十方陣の場合は内側の八方陣）を、
初期値を n*2-1 (六方陣は11、十方陣は19・・・)として
「四方陣の作り方」で作ります。
① ② ③
* * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * 12 13 * * * 26 * * 23 * * 26 12 13 23 *
* 15 * * 18 * + * * 21 20 * * = * 15 21 20 18 *
* 19 * * 22 * * * 17 16 * * * 19 17 16 22 *
* * 24 25 * * * 14 * * 11 * * 14 24 25 11 *
* * * * * * * * * * * * * * * * * *
次に、次の８個所のマスを、次の計算式で埋めます。
※[0][0]は左上のマス目を示し、m は (n*n+1) とします。
[0][0] = n-2 [n-1][n-1] = m - (n-2)
[0][n-1] = n-1 [n-1][0] = m - (n-1)
[0][n-2] = m - 2*n + 3 [n-1][n-2] = m - (m - 2*n + 3)
[n-2][0] = 2*n - 2 [n-2][n-1] = m - (2*n - 2)
4 * * * 28 5
* 26 12 13 23 *
* 15 21 20 18 *
* 19 17 16 22 *
10 14 24 25 11 27
32 * * * 9 33
次に、残りのマスを、次のとおり埋めます。
[0][1] = 3 [5][1] = 34 [1][0] = 6 [1][5] = 31
[5][2] = 2 [0][2] = 35 [2][5] = 7 [2][0] = 30
[5][3] = 1 [0][3] = 36 [3][5] = 8 [3][0] = 29
4 3 35 36 28 5
6 26 12 13 23 31
30 15 21 20 18 7
29 19 17 16 22 8
10 14 24 25 11 27
32 34 2 1 9 33
次の例も六方陣です。
1 32 33 4 35 6
12 8 27 28 11 25
18 17 22 21 20 13
19 23 16 15 14 24
30 26 10 9 29 7
31 5 3 34 2 36
「七方陣」作り方
七方陣も無数にありますが、次の例は左は斜進法で、
右は平行移動法で作った七方陣です。
[斜進法による七方陣] [平行移動法による七方陣]
20 11 2 49 40 31 22 4 35 10 41 16 47 22
12 3 43 41 32 23 21 29 11 42 17 48 23 5
4 44 42 33 24 15 13 12 36 18 49 24 6 30
45 36 34 25 16 14 5 37 19 43 25 7 31 13
37 35 26 17 8 6 46 20 44 26 1 32 14 38
29 27 18 9 7 47 38 45 27 2 33 8 39 21
28 19 10 1 48 39 30 28 3 34 9 40 15 46
「八方陣」の作り方
八方陣も無数にありますが、その一例を次に示します。
四方陣の作り方で示した対角線方法は、４の倍数の偶数方陣に適用できます。
①左上隅から1、2、3と入れるが、対角線上には数字を入れない。
②左上隅から64、63、62と入れるが、対角線上だけに数字を入れる。
③①と②を重ね合わせる。
① ② ③
* 2 3 * * 6 7 * 64 * * 61 60 * * 57 64 2 3 61 60 6 7 57
9 * * 12 13 * * 16 * 55 54 * * 51 50 * 9 55 54 12 13 51 50 16
17 * * 20 21 * * 24 * 47 46 * * 43 42 * 17 47 46 20 21 43 42 24
* 26 27 * * 30 31 * + 40 * * 37 36 * * 33 = 40 26 27 37 36 30 31 33
* 34 35 * * 38 39 * 32 * * 29 28 * * 25 32 34 35 29 28 38 39 25
41 * * 44 45 * * 48 * 23 22 * * 19 18 * 41 23 22 44 45 19 18 48
49 * * 52 53 * * 56 * 15 14 * * 11 10 * 49 15 14 52 53 11 10 56
* 58 59 * * 62 63 * 8 * * 5 4 * * 1 8 58 59 5 4 62 63 1
また、四方陣で示した入替方法は、４の倍数の偶数方陣に適用できます。
①上記で完成した八方陣に対して、２行３行と２列３列、
６行７行と６列７列を入れ替えると[8-1]の八方陣が出来ます。
②次に[8-1]の八方陣に対して、１行２行と１列２列、３行４行と３列４列、
５行６行と５列６列、７行８行と７列８列を入れ替えると[8-2]の八方陣が出来ます。
③更に[8-2]の八方陣に対して、２行３行と２列３列、
６行７行と６列７列を入れ替えると[8-3]の八方陣が出来ます。
④続いて[8-3]の八方陣に対して、１行２行と１列２列、３行４行と３列４列、
５行６行と５列６列、７行８行と７列８列を入れ替えると[8-4]の八方陣が出来ます。
⑤また更に[8-4]の八方陣に対して・・・あとは省略します。
[8-1] [8-2] [8-3]
64 3 2 61 60 7 6 57 46 17 20 47 42 21 24 43 46 20 17 47 42 24 21 43
17 46 47 20 21 42 43 24 3 64 61 2 7 60 57 6 27 37 40 26 31 33 36 30
9 54 55 12 13 50 51 16 27 40 37 26 31 36 33 30 3 61 64 2 7 57 60 6
40 27 26 37 36 31 30 33 54 9 12 55 50 13 16 51 54 12 9 55 50 16 13 51
32 35 34 29 28 39 38 25 14 49 52 15 10 53 56 11 14 52 49 15 10 56 53 11
49 14 15 52 53 10 11 56 35 32 29 34 39 28 25 38 59 5 8 58 63 1 4 62
41 22 23 44 45 18 19 48 59 8 5 58 63 4 1 62 35 29 32 34 39 25 28 38
8 59 58 5 4 63 62 1 22 41 44 23 18 45 48 19 22 44 41 23 18 48 45 19
[8-4]
37 27 26 40 33 31 30 36
20 46 47 17 24 42 43 21
12 54 55 9 16 50 51 13
61 3 2 64 57 7 6 60
5 59 58 8 1 63 62 4
52 14 15 49 56 10 11 53
44 22 23 41 48 18 19 45
29 35 34 32 25 39 38 28
次の例も八方陣です。（蛇足ながら、
当然次の八方陣からも上記の入替方法によって無数の八方陣を作ることが出来ます。）
1 2 60 59 7 8 62 61
15 40 32 49 9 34 26 55
18 42 45 21 24 48 43 19
54 27 35 12 52 29 37 14
64 63 5 6 58 57 3 4
50 25 33 16 56 31 39 10
47 23 20 44 41 17 22 46
11 38 30 53 13 36 28 51
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